圆的方程
圆的方程基础
圆的标准方程
圆心为 A(x0,y0)A(x_0, y_0)A(x0,y0)，半径为 rrr 的圆 ⊙A\odot A⊙A，任意一点 P(x,y)P(x, y)P(x,y) 在圆 ⊙A\odot A⊙A 上的 充要条件 为：
P(x,y)P(x, y)P(x,y) 到 A(x0,y0)A(x_0, y_0)A(x0,y0) 的距离为 rrr．
用代数式表示则为
(x−x0)2+(y−y0)2=r\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r(x−x0)2+(y−y0)2=r
两侧同时平方得
(x−x0)2+(y−y0)2=r2,r>0(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2, \quad r > 0(x−x0)2+(y−y0)2=r2,r>0
该方程称作 圆的标准方程，或 圆的标准式．
对于任意方程
(x−a)2+(y−b)2=c,c>0(x - a)^2 + (y - b)^2 = c, \quad c > 0(x−a)2+(y−b)2=c,c>0
可以直接确定方程表示的是一个圆心为 (a,b)(a, b)(a,b)，半径为 c\* \sqrt cc（注意不是 ccc）的圆．
圆的标准方程足够表示 任意一个圆 的方程．
圆的一般方程
注意到，圆的标准方程
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
都可以变形为
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0
的形式．现在我们考虑逆过程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0x2+Dx+y2+Ey=−Fx2+Dx+D24+y2+Ey+E24=D24+E24−F(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4\bal
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 \\[1em]
x^2 + Dx + y^2 + Ey &= -F \\[1em]
x^2 + Dx + \df{D^2}4 + y^2 + Ey + \df{E^2}4 &= \df{D^2}4 + \df{E^2}4 - F \\[1em]
(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 &= \df{D^2 + E^2 - 4F}4
\ealx2+y2+Dx+Ey+Fx2+Dx+y2+Eyx2+Dx+4D2+y2+Ey+4E2(x+2D)2+(y+2E)2=0=−F=4D2+4E2−F=4D2+E2−4F
这就整理为了
(x−a)2+(y−b)2=c(x - a)^2 + (y - b)^2 = c(x−a)2+(y−b)2=c
的形式，但注意还不一定是圆：
当 c>0c > 0c>0，即 D2+E2−4F>0\*D^2 + E^2 - 4F > 0D2+E2−4F>0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + Fx2+y2+Dx+Ey+F 表示的是 圆．
当 c=0c = 0c=0，即 D2+E2−4F=0D^2 + E^2 - 4F = 0D2+E2−4F=0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + Fx2+y2+Dx+Ey+F 表示的是 一个点．
当 c<0c < 0c<0，即 D2+E2−4F<0D^2 + E^2 - 4F < 0D2+E2−4F<0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+Fx^2 + y^2 + Dx + Ey + Fx2+y2+Dx+Ey+F 不表示任何图形．
为方便，笔者后面称 D2+E2−4FD^2 + E^2 - 4FD2+E2−4F 为「圆判别式」，用符号 Δ\DeltaΔ 表示．
注意Δ\DeltaΔ 只是为方便本文叙述引入的记号，不能在答卷中使用．
当 Δ>0\Delta > 0Δ>0 时，方程
(x+D2)2+(y+E2)2=Δ4=(Δ2)2(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 = \df \Delta 4 = (\df {\sqrt \Delta} 2)^2(x+2D)2+(y+2E)2=4Δ=(2Δ)2
表示一个 圆心 为 (−D2,−E2)(-\df D 2, -\df E 2)(−2D,−2E)，直径 为 Δ\sqrt{\Delta}Δ 的圆，因此对方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0
当它的 Δ>0\Delta > 0Δ>0 时，称该方程为圆的 一般式方程，简称 一般式．
一般式 也足够表示 任意圆 的方程，因为任意标准式都能转化为一般式．
圆的角度上分析任意二次方程
对于任意二元二次方程
Ax2+By2+Cxy+D′x+E′y+F′=0Ax^2 + By^2 + Cxy + D'x + E'y + F' = 0Ax2+By2+Cxy+D′x+E′y+F′=0
满足什么条件时才是一个圆？
如果是，它的半径和圆心如何分析？
首先，它必须得能变形成 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0，即 圆的一般式，否则，它必定无法进一步变形为圆的标准方程，进而无法表示圆．因此，我们有如下 必要条件：
A=B≠0A = B \ne 0A=B=0．即 两个平方项系数必须相等且不为 000．
C=0C = 0C=0，即 方程不能有 xyxyxy 项．
有了这些条件后，方程两侧同时除以 AAA，即可变形为 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0．此时只要保证 Δ>0\* \Delta > 0Δ>0 后，即可确认方程表示圆．
注意必须将平方项系数变形为全为 111 的形式后，才能将 DDD，EEE，FFF 代入 Δ=D2+E2−4F\Delta = D^2 + E^2 - 4FΔ=D2+E2−4F 判断正负．
当方程平方项系数不全为 111 时，D′2+E′2−4F′{D'}^2 + {E'}^2 - 4F'D′2+E′2−4F′ 的正负与 Δ\DeltaΔ 无关，也不能决定方程是否表示圆．
如果想进一步确认圆心与半径的信息，需要用到先前的变形技巧：
x2+y2+Dx+Ey+F=0x2+Dx+y2+Ey=−Fx2+Dx+D24+y2+Ey+E24=D24+E24−F(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4\bal
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 \\[1em]
x^2 + Dx + y^2 + Ey &= -F \\[1em]
x^2 + Dx + \df{D^2}4 + y^2 + Ey + \df{E^2}4 &= \df{D^2}4 + \df{E^2}4 - F \\[1em]
(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 &= \df{D^2 + E^2 - 4F}4
\ealx2+y2+Dx+Ey+Fx2+Dx+y2+Eyx2+Dx+4D2+y2+Ey+4E2(x+2D)2+(y+2E)2=0=−F=4D2+4E2−F=4D2+E2−4F
第一步：将 常数项 FFF 移项 至等号右侧．
第二步：两侧同时加上一次项系数的一半，即 D24\df{D^2}44D2 和 E24\df{E^2}44E2．注意：无论 DDD 与 EEE 符号如何，这里一定加的是 两个正数．
第三步：配方．
即可确定 圆心为 (−D2,−E2)(-\df D 2, -\df E 2)(−2D,−2E)，直径为 Δ\sqrt \DeltaΔ．
上面两条性质可以直接记忆：
填选中 直接看圆的一般式就能直接分析圆的 圆心 和 直径．
大题中 需要配方转为标准形式后再得到圆心和半径．
应试中，圆的一般式转标准式也遵循上面的 三步 原则，计算起来是最快而且不易出错的．
例题 1.1已知方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0a^2x^2 + (a + 2)y^2 + 4x + 8y + 5a = 0a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆，求圆的圆心坐标和半径．
例题 1.1 解答首先我们要约束它是圆．
两个二次项系数相同．a2=a+2a^2 = a + 2a2=a+2，解得 a=2a = 2a=2 或 a=−1a = -1a=−1．
当 a=2a = 2a=2 时，方程整理为 x2+y2+x+2y+52=0x^2 + y^2 + x + 2y + \df 5 2 = 0x2+y2+x+2y+25=0，计算可知 Δ<0\Delta < 0Δ<0，不是圆．
当 a=−1a = -1a=−1 时，方程整理为 x2+y2+4x+8y−5=0x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 = 0x2+y2+4x+8y−5=0，计算可知 Δ>0\Delta > 0Δ>0，是圆．
因此 a=1a = 1a=1，一般式为 x2+y2+4x+8y−5=0x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 = 0x2+y2+4x+8y−5=0．
确认它的信息需要转为标准式，操作：
x2+y2+4x+8y−5=0x2+y2+4x+8y=5(x+2)2+(y+4)2=5+4+16(x+2)2+(y+4)2=25\bal
x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 &= 0 \\
x^2 + y^2 + 4x + 8y &= 5 \\
(x + 2)^2 + (y + 4)^2 &= 5 + 4 + 16 \\
(x + 2)^2 + (y + 4)^2 &= 25
\ealx2+y2+4x+8y−5x2+y2+4x+8y(x+2)2+(y+4)2(x+2)2+(y+4)2=0=5=5+4+16=25因此圆心为 (−2,−4)(-2, -4)(−2,−4)，半径为 555．
三点确定一圆（三角形外接圆）
已知一个圆 ⊙P\odot P⊙P 经过点 A(x1,y1)A(x_1, y_1)A(x1,y1)，B(x2,y2)B(x_2, y_2)B(x2,y2)，C(x3,y3)C(x_3, y_3)C(x3,y3) 三点，求 PPP 的方程．
直接设 ⊙P\odot P⊙P 方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0x2+y2+Dx+Ey+F=0，有 DDD，EEE，FFF 三个未知元．
将三个坐标分别代入，形成一个 三元一次方程组，解出即可．
注意：不要设 ⊙P\odot P⊙P 的方程为 (x−x0)2+(y−y0)2=r2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2(x−x0)2+(y−y0)2=r2 后代入三点坐标，因为这样做会得到 三元二次方程组，求解难度高．
圆的方程题型
圆的面积
圆的面积是一个只与半径直接相关，与圆心无关的量．看到面积条件就可以刻画为半径 / 直径条件．
例题 2.1求方程 x2+y2+kx+2y+k2=0x^2 + y^2 + kx + 2y + k^2 = 0x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆面积最大时，该圆的圆心坐标（填空题）．
例题 2.1 解答圆的直径 Δ=k2+22−4k2=4−3k2\sqrt{\Delta} = \sqrt{k^2 + 2^2 - 4k^2} = \sqrt{4 - 3k^2}Δ=k2+22−4k2=4−3k2．显然，直径取最大值时，有 k=0k = 0k=0．
该圆圆心为 (−k2,−1)(-\df k 2, -1)(−2k,−1)．因此面积最大，即直径最大，即 k=0k = 0k=0，此时圆心为 (0,−1)(0, -1)(0,−1)．
圆的直径为 Δ\sqrt{\Delta}Δ 大题可能不能直接使用，大题应将题目中的方程配方后再分析半径．
圆关于直线对称
下面四个条件：
圆关于 lll 对称．
圆上存在两点关于 lll 对称．
等价于圆关于 lll 对称后的图形仍是其本身．
lll 平分圆的面积．
这四个条件容易「诈骗地」让人往「对称」去想，但这四个条件都可以很简单地等价于：圆心在 lll 上．
与圆的面积恰好相反，这是一个与圆心有关而与半径无关的条件．
例题 2.2若圆 x2+y2−2ax−2a2y+a4=0x^2 + y^2 - 2ax - 2a^2y + a^4 = 0x2+y2−2ax−2a2y+a4=0 上存在两个点关于 y=xy = xy=x 对称，求 aaa 的值．
例题 2.2 解答该方程表示圆的条件为 (−2a)2+(−2a2)2−4a4>0 ⟺ a>0(-2a)^2 + (-2a^2)^2 - 4a^4 > 0 \iff a > 0(−2a)2+(−2a2)2−4a4>0⟺a>0．
条件等价于该圆的圆心在 y=xy = xy=x 上，即 (a,a2)(a, a^2)(a,a2) 在 y=xy = xy=x 上，因此 a2=aa^2 = aa2=a，联系 a>0a > 0a>0，可得 a=1a = 1a=1．
注意判断 Δ>0\Delta > 0Δ>0，这是方程表示圆的重要先决条件．
在例题 1.2 中，由于我们直接讨论直径 Δ\sqrt \DeltaΔ，这直接约束了 Δ>0\Delta > 0Δ>0，因此无需特别讨论．
隐距离
类似 一次分式 可以转换成 斜率，形如
Ax2+Ay2+D′x+E′y+F′Ax^2 + Ay^2 + D'x + E'y + F'Ax2+Ay2+D′x+E′y+F′
的 「类圆一般式」 可以转换成距离．
考虑将其变形为
A(x2+y2+Dx+Ey+F)A(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F)A(x2+y2+Dx+Ey+F)
则括号内的部分可以变形为
(x+D2)2+(y+E2)2−D2+E2−4F4(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2 - \df{D^2 + E^2 - 4F}4(x+2D)2+(y+2E)2−4D2+E2−4F
这样以来未知量 xxx 与 yyy 全被转化到 (x+D2)2+(y+E2)2(x + \df D 2)^2 + (y + \df E 2)^2(x+2D)2+(y+2E)2 这个结构中，即 (x,y)(x, y)(x,y) 到 (−D2,−E2)(-\df D2, -\df E2)(−2D,−2E) 的距离的平方．可通过研究这个距离的值域来研究原式的值域．
例题 2.3.1设直线 lll 的方程：
(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0(1 + 3\lambda)x + (1 + 2\lambda)y - (2 + 5\lambda) = 0(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0当 λ\lambdaλ 确定后，lll 确定．此时设 lll 上一动点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)P(x0,y0)，则 x02+y02+4x0{x_0}^2 + {y_0}^2 + 4{x_0}x02+y02+4x0 存在最小值，记为 f(λ)f(\lambda)f(λ)．
求 f(λ)f(\lambda)f(λ) 的最大值．
例题 2.3.1 解答将 x02+y02+4x0{x_0}^2 + {y_0}^2 + 4{x_0}x02+y02+4x0 转化为隐距离
(x0+2)2+y02−4(x_0 + 2)^2 + {y_0}^2 - 4(x0+2)2+y02−4即 PPP 到 (−2,0)(-2, 0)(−2,0) 的距离的平方减 444．
取最小值时，应使 PPP 到 (−2,0)(-2, 0)(−2,0) 的距离最小，PPP 为 lll 上的动点，因此该最小距离为 Q(−2,0)Q(-2, 0)Q(−2,0) 到直线 lll 的距离．
于是 f(λ)f(\lambda)f(λ) 的含义为
Q(−2,0)Q(-2, 0)Q(−2,0) 到直线 lll 的距离的平方减 444．
要令它最大，Q(−2,0)Q(-2, 0)Q(−2,0) 到直线 lll 的距离应最大，问题变为
求点 P(−2,0)P(-2, 0)P(−2,0) 到直线 lll：(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0(1 + 3\lambda)x + (1 + 2\lambda)y - (2 + 5\lambda) = 0(1+3λ)x+(1+2λ)y−(2+5λ)=0 的距离最大值．
这是在直线方程的原题，距离最大值为 10\sqrt{10}10．
因此最终的答案（fff 的最大值）为 102−4=6\sqrt{10}^2 - 4 = 6102−4=6．
例题 2.3.2求函数 f(x)=x2+6x+73+x2−4x+8f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 73} + \sqrt{x^2 - 4x + 8}f(x)=x2+6x+73+x2−4x+8 的最小值．
例题 2.3.2 解答注意到 f(x)=(x+3)2+64+(x−2)2+4f(x) = \sqrt{(x + 3)^2 + 64} + \sqrt{(x - 2)^2 + 4}f(x)=(x+3)2+64+(x−2)2+4，
可以刻画为动点 P(x,0)P(x, 0)P(x,0) 与 (−3,8)(-3, 8)(−3,8)、(2,2)(2, 2)(2,2) 的距离和最小值．
这是一个标准的将军饮马模型，将一个点对称得 (2,−2)(2, -2)(2,−2)，答案为 (−3,8)(-3, 8)(−3,8) 与 (2,−2)(2, -2)(2,−2) 的距离 555\sqrt 555．
给几何条件求圆的方程
除了 三点确定一个圆，设 圆的一般式，待定系数 最简单外．其余的给几何条件求圆的方程题目，一般都考虑：
根据几何条件，分别确定 圆心 和 半径．
最后 列圆的标准式．
例题 2.4.1已知 ⊙C\odot C⊙C 的圆心位于 xxx 轴正半轴，M(0,5)M(0, \sqrt 5)M(0,5) 在 ⊙C\odot C⊙C 上，且圆心 CCC 到直线 y=2xy = 2xy=2x 的距离为 455\df{4\sqrt 5}5545，求 ⊙C\odot C⊙C 的方程．
「圆心 CCC 到直线 y=2xy = 2xy=2x 的距离为 455\df{4\sqrt 5}5545」是一个 只跟圆心有关的条件．
给定 圆上一点坐标，则只要解出 圆心坐标，使用 两点间距离公式 即可得到 半径．
例题 2.4.1 解答设 C(c,0),c>0C(c, 0), \quad c > 0C(c,0),c>0，根据条件，CCC 到 2x−y=02x - y = 02x−y=0 的距离为 455\df{4\sqrt 5}5545，有
∣2c∣22+(−1)2=455\df{|2c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \df{4\sqrt 5}522+(−1)2∣2c∣=545可解得 c=2c = 2c=2（注意 c>0c > 0c>0），C(2,0)C(2, 0)C(2,0)，r=∣CM∣=22+52=3r = |CM| = \sqrt{2^2 + \sqrt 5 ^2} = 3r=∣CM∣=22+52=3．
因此 ⊙C :(x−2)2+y2=9\odot C \colon (x - 2)^2 + y^2 = 9⊙C:(x−2)2+y2=9．
例题 2.4.2求圆心在 l :4x+y=0l\colon 4x + y = 0l:4x+y=0 上，且过点 P(4,1)P(4, 1)P(4,1)，Q(2,−1)Q(2, -1)Q(2,−1) 的圆的方程．
例题 2.4.2 解答不难发现圆心在 PQPQPQ 垂直平分线 l′l'l′ 与 lll 的交点上，考虑求解 PQPQPQ 垂直平分线 l′l'l′ 的方程．
QP→=(2,2)\overrightarrow{QP} = (2, 2)QP=(2,2) 作为 l′l'l′ 的法向量，且经过 PQPQPQ 中点 (3,0)(3, 0)(3,0)，点法式给出
2x+2y=2×3+2×0=62x + 2y = 2 \times 3 + 2 \times 0 = 62x+2y=2×3+2×0=6即 x+y=3x + y = 3x+y=3，其与 l :4x+y=0l \colon 4x + y = 0l:4x+y=0 的交点设为 C(−1,4)C(-1, 4)C(−1,4)，即圆心坐标．
圆经过 P(4,1)P(4, 1)P(4,1)，可知半径为 ∣CP∣=34|CP| = \sqrt{34}∣CP∣=34，因此圆的方程为
(x+1)2+(y−4)2=34(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 34(x+1)2+(y−4)2=34